Punteggiature matematiche

Accendo il portatile. Home. Post it digitale: il linguaggio matematico / il potere educativo della matematica / punteggiature matematiche. Data di scrittura della nota: imprecisata. Una vecchia idea. Stagionata.

Premessa: non abbiate paura, per seguirmi in questo percorso, l'unico prerequisito sono le quattro operazioni.

Due idee: la matematica è un linguaggio[1]; il linguaggio è una componente importante di ogni attività educativa.

Due domande: che similitudini ha il linguaggio matematico con quello quotidiano? Che valore educativo ha capirlo, leggerlo, scriverlo e parlarlo?

Proverò a portarvi alla radice di quell'insieme di codici che chiamiamo linguaggio matematico, per darvi qualche spunto per una didattica della matematica integrata con le scienze (STEM[2]) e con le materie umanistiche.

Pronti, via!

Apparentemente, l'aritmetica - la matematica delle quattro operazioni - incontrata alle elementari è molto diversa dall'algebra elementare che si incontra alle superiori. Vero, solo un folle vi direbbe che sono uguali.

Però è anche vero che lo stesso folle aggiungerebbe che la matematica è matematica. Le sue regole non cambiano. Ci troviamo sempre a scrivere sentenze seguendo certe regole. Esempio, questa:

   12:{3:[2+(6:3-1)]+2}=4 (aritmetica)     e questa,

   {[(a+2):4-8xb]-c}=2 (algebrica)     sono scritte secondo lo stesso codice linguistico. E così anche un titano del genere:

Ok, questo per poterlo leggere correttamente dobbiamo apprendere il suo simbolismo specifico, ma la "grammatica" della matematica - l'insieme di regole secondo cui la scriviamo - non cambia. Esattamente come avviene per la lingua parlata.

La nostra lingua è fatta di parole composte, a loro volta, da lettere. Le lettere (o grafi) sono in tutto ventisei. Ne sto usando una gran quantità giusto ora. Per analogia, le "parole" matematiche sono i numeri, che invece sono composti da cifre, in tutto dieci. Questo sistema a dieci cifre si dice decimale.

In questo sistema, se volessimo scrivere il numero trentasette avremmo bisogno delle cifre 3 e 7 e dovremmo disporre il 3 nella posizione delle decine e il 7 in quella delle unità. Ovvero scriviamo 37. Tra questo esempio e la regola generale ci sono solo i nomi delle posizioni, con cui si crea il seguente schema:

(Immagine estratta dal sito YouMath.it )

Oltre a questo sistema ne esistono però anche altri. Per esempio il sistema binario - fondamenta della moderna tecnologia digitale - che si basa su due sole cifre: 0 (off, spento) e 1 (on, acceso).

Scambiando posizione alle lettere possiamo originare nuove parole (anagrammi), e nuovi significati, o parole illeggibili. Nei numeri invece, qualsiasi ordine diamo alle cifre saremo ancora in grado di leggervi un numero. Tra i numeri invece esiste eccome una gerarchia: ci sono numeri che indicano quantità più grandi rispetto ad altre! Le lettere, e le cifre, non hanno una posizione predefinita, le disponiamo in un certo ordine che è funzionale alla parola, o numero, che vogliamo scrivere.

Con le parole noi costruiamo frasi e poi, attraverso l'analisi logica, impariamo a riconoscere anche le relazioni presenti tra le parole di una frase. Questi legami di senso ci permettono di individuare soggetti, verbi, complementi, preposizioni, articoli; tutti elementi indispensabili per elaborare un pensiero.

Ed in matematica? Abbiamo un analogo della frase? Beh, certo; altrimenti non staremmo qui! (Eheheh) Le frasi della matematica sono le espressioni. In queste i numeri sono i complementi delle frasi di cui noi siamo il soggetto implicito. Quindi, se abbiamo soggetto e complemento, per avere una frase matematica non manca che una cosa: i verbi!!

Ma i verbi della matematica in realtà li conosciamo! Fin da piccoli infatti impariamo che le azioni che noi possiamo fare su e con i numeri altro non sono che le quattro operazioni

   + - : x

Vi sembra strano? Probabilmente no. Proviamo quindi a fare qualche esempio, tipo

12 + 3

   15 : 5

   3 * 2

   10 - 9     come si leggono? Voi magari non ci fate caso, ma la vostra testa vede questo:

Al dodici sommo tre

Il quindici lo divido per cinque

Il tre lo moltiplico per due

Al dieci sottrago nove

Leggendo queste, da sinistra a destra, si scopre anche come vanno eseguite le operazioni. E le azioni sono chiare. Se le leggiamo, difficilmente sbagliamo. Imparando ad usare le quattro operazioni si scopre presto che solo somma e moltiplicazione danno lo stesso risultato se si inverte la posizione dei numeri rispetto all'operazione (proprietà commutativa).

Fin qui, tutto regolare. La costruzione di queste frasi è semplice. Però vediamo che non sono ancora complete in quanto "frasi matematiche", ci manca qualche cosa. Scrivendole così queste espressioni non mettono in moto nessuna oper-azione. Scena: siete alla lavagna, vi dettano queste, che fate? Probabilmente niente. Perché? Beh, perché vi manca la domanda. Con queste forme voi state scrivendo una frase, una serie di istruzioni fini a stesse. "Al dodici sommo tre" Embè?!

Beh, vi mancherebbe un simbolo fondamentale, che fa parte dei connettori logici della matematica: l'uguale. Inserendo lui tutto prende un altro significato. Per esempio:

   15 : 5 =

Assume il significato di

Il quindici lo divido per cinque per ottenere...

Divido quindici per cinque e ottengo...

Se divido quindici per cinque allora ottengo...

La differenza è subito evidente. Così siamo portati a leggere l'espressione come una richiesta per ottenere quel qualcosa che chiamiamo risultato. Altra cosa interessante è che la stessa scrittura matematica può essere interpretata sia in prima persona, come moto personale di ricerca,

Divido quindici per tre e ottengo...

Oppure come richiesta,

Cosa ottieni se dividi quindici per tre?

O come ordine:

Dividi quindici per tre e trova il risultato!

Didatticamente le tre fanno tutta la differenze del mondo. La seconda e la terza ci parlano del nostro modo di porre quesiti e di come ci rapportiamo allo studente. La seconda ci parla di una didattica che pone domande, attende, ascolta i dubbi. Ma per prima cosa chiede, perché chi fa didattica sa che ci sono domande che vanno fatte per stimolare un processo. La terza d'altra parte ci racconta una didattica un po' bacchettona, che pretende, che sgrida e dà ordini! Il primo è come vorremmo che fosse: l'alunno è partecipe e soggetto del processo matematico, si sente coinvolto nella materia e magari è anche autonomo. Booom! Tre elementi e abbiamo aperto mondi...

Ma proviamo a mettere altra carne al fuoco. Vediamo cosa si può ottenere inserendo più elementi in una frase. Per esempio, conoscerete sicuramente questo tipo di "giochini virali":

   6 - 1 * 0 + 2 : 2 =     Si dice crei problemi al 99% di chi ci prova. Il motivo è che non sappiamo più leggere la matematica. Esiste infatti una gerarchia interna tra le operazioni, per cui hanno priorità moltiplicazioni e divisioni. Quindi, questa si legge, in forma interrogativa come:

Che numero ottengo se sottraggo a sei (il numero che ottengo da) la moltiplicazione tra uno e zero e poi vi aggiungo (il risultato de) la divisione tra due e due?

Potrebbe sembrare che io abbia complicato le cose, ma nell'esercizio di leggere ho dovuto applicare una regola formale (quella della priorità tra le operazioni) fissando quindi un concetto e schematizzando la sequenza di calcolo. È faticoso, ma alla lunga paga. Perché è un esercizio difficile, che coinvolge tanti meccanismi mentali diversi. Ma non è tutto.

Da qui in poi, qualsiasi cosa decidessimo di aggiungere, la scrittura matematica creerebbe proposizioni via via più complesse, esattamente come in un paragrafo scritto in italiano; con porzioni subordinate etc... Ovviamente però, fare questo richiede una attrezzatura specifica. Quale?! La punteggiatura! In matematica, questa è costituita dalle parentesi. Una prova? Beh, se nell'esempio di prima inseriamo delle parentesi la frase (e con lei il risultato) cambia assai. Tipo:

(6 - 1) * 0 + 2 : 2 =

6 - 1 * (0 + 2) : 2 =

Se prendo la prima, la domanda diviene:

Che numero ottengo se, dopo aver sottratto uno a sei, moltiplico questo risultato per zero e poi lo sommo al risultato ottenuto dalla divisione di due per due?

La seconda... Provatela voi! Provate a vedere come cambiano i risultati nei tre esempi e le varie forme in cui si possono scrivere. La regola è che le parentesi hanno la precedenza, poi moltiplicazioni e divisioni, per ultime somme e sottrazioni. È molto più appagante di quanto sembri. E fin qui niente di che. Forse.

Forse...

Ad un tratto però, nella vita di ognuno di noi, sono comparsi degli oggetti che hanno stravolto tutte le nostre certezze. Possiamo star bene in un mondo matematico che usa numeri al posto delle parole (e le 4 operazioni al posto dei verbi), ma quel giorno in cui un sadico ci fa sapere che esistono frasi matematiche dove possono comparire delle lettere, ecco è in quel preciso momento che le nostre sicurezze vanno in pezzi e iniziamo a passare dalla fanciullezza all'età adulta. Ma forse di questo sarebbe meglio parlarne la prossima volta...

Lasciatemi quindi concludere con una riflessione. Per una serie di motivi socio culturali abbiamo circondato la matematica con un'aura di irraggiungibilità ed elitarietà che nel tempo l'ha resa appannaggio degli eletti che la capiscono. Per tutti gli altri la cultura è quella umanistica, il parlar bene. E questa, per gli alunni, è una delle consuetudini più comode su cui adagiarsi, nel bene e nel male.

Non so a voi, ma a me questa distinsione dicotomica che ci divide tra capaci ed incapaci sta stretta. Assai. Non si tratta di essere capaci o no, la questione è se la temiamo o no. Come sempre, l'unico modo per non temere una cosa è conoscerla.

E allora parliamoci. Dopotutto, se qualche erudito chiama la matematica "linguaggio della scienza" perché non ragionare con i ragazzi su questa sua natura?! È un linguaggio simbolico, sintetico e astratto, ma abbiamo visto che, come una poesia, può essere letto con tante sfumature diverse, anche educative.

Io questo esercizio di lettura lo propongo in classe, sulle prime disorienta e rompe anche abbastanza. Ma penso che un vero apprendimento ha bisogno proprio di questo: di sfide, di forzature fuori dai propri confini. Inserendo un esercizio letterario in un procedimento matematico si rompe uno schema e questo va a vantaggio sia di chi pensa di non capire la matematica sia di chi pensa di non saper scrivere in italiano

Approfondimenti:

[1] "La filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi, io dico l’universo, ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua e conoscer i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.” Il Saggiatore, Galileo Galilei (1564-1642), fisico, astronomo, scrittore.

[2] Cosa sono le STEM - Wiki 

I linguaggi matematici - Polimi 

Storia della matematica - INFN